Учение о пределах составляет теперь не только основание исчисления бесконечно малых, но служит для установления известнейших теорем элементарнейшей геометрии и входит поэтому в курс как высшей, так и средней школы.

В последние 40 или 30 лет большая часть первоначальных положений и определений основных математических понятий подверглась обстоятельнейшей критике, приведшей, с одной стороны, к уточнению этих понятий и полной логической строгости выводов, но зато, с другой стороны, это уточнение и строгость повели к растянутости многих рассуждений и к утрате, так сказать, наглядной самоочевидности выводов.

Само собою понятно, что в общем ходе развития науки это уточнение определений и достижение полной строгости выводов имеет весьма важное значение. Но надо различать развитие науки от изложения ее начал в школе юношам, которым излагаемые истины приходится слышать впервые и усваивать устанавливаемые понятия вновь.

Стремление к полной строгости ведет к тому, что многие истины, кажущиеся при самом простом и как бы обыденном взгляде на дело совершенно очевидными без доказательства, приходится подтверждать длинными доказательствами, ибо эти истины надо свести к сделанным аксиомам, не допуская других положений, ни свидетельства чувства и здравого смысла, а основываясь лишь на последовательно и точно проводимом отвлеченном рассуждении.

Такое направление преподавания, как мне кажется, а я в этом еретик, уместно в университетах, да и то на старших курсах, а не для начинающих, и совершенно неуместно в средней школе, а в особенности в школах технических-прикладных.

В средней школе ученик не обладает еще ни достаточным запасом знаний, ни достаточною зрелостью ума, чтобы оценить всю силу логической связи излагаемых ему учений: ему представляется, что для получения ничтожных результатов затрачивается совершенно несоразмерный труд на их обоснования и на усвоение (главным образом памятью) доказательств. У большинства учеников этим вселяется отвращение к математике, которая в их представлении как бы является на смену латыни и греческому, чтобы можно было издеваться над учениками, резать их на экзаменах и не допускать в высшую школу.

В технической школе такая постановка преподавания противоречит самому духу школы, всей дальнейшей деятельности ее питомцев, самому ее назначению - прежде всего, вырабатывать сметку, глазомер, решимость, веру в чертеж и в свидетельства чувств, а не ту как бы умственную трусость, которая заставляет изыскивать доказательства таких истин, которые технику кажутся до доказательства яснее, нежели после такового.

Такое направление преподавания вселяет технику полное отвращение, он переносит его на самый предмет, т.е. на математику, и приходит к заключению, что она не только не составляет могучего орудия в его деле, а просто есть какое-то толчение воды в ступе, утонченная же строгость доказательств представляется ему торжеством науки над здравым смыслом, по насмешливому выражению моего приятеля, истинного техника, директора одного из величайших русских предприятий, на котором работает от 18000 до 20000 человек.

Спрашивается, не надо ли несколько поступиться в требованиях безукоризненной строгости, не следует ли несколько более сообразоваться с практическими целями преподавания, т.е. попросту в средней школе, например, стремиться научить главным образом пользоваться арифметикой (верно и быстро вычислять), алгеброй, тригонометрией, началами анализа бесконечно малых, может быть даже и геометрией, а не задаваться превыспренней и недостижимой целью развития способности точного логического мышления.

Не следует ли обратиться к самим великим творцам науки и посмотреть, как они излагали, и не считать недостаточно строгим для 16-летнего гимназиста, например, то, на чем сам Ньютон обосновал все современное учение о мироздании и что он положил в основу своих неопровержимых доказательств строения системы мира.

Может быть, обмен мнениями по этому поводу будет признан отвечающим цели этих собраний, вот почему я позволю себе прочесть 1-й отдел 1-й книги "Математических начал" Ньютона, в котором изложены основания учения о пределах.